1.1.1
PENGHUBUNG
KALIMAT DAN TABEL KEBENARAN
Satu
atau lebih proposisi dapat dikombinasikan untuk menghasilkan proposisi baru
lewat penggunaan operator logika. Proposisi baru yang dihasilkan dari kombinasi
tersebut disebut dengan proposisi majemuk (compound composition), sedangkan
proposisi yang bukan merupakan hasil dari kombinasi proposisi lain disebut proposisi atomik. Proposisi majemuk
tersusun dari sejumlah proposisi atomik.
Dalam logika
dikenal 5 buah penghubung
Simbol
|
Arti
|
Bentuk
|
¬
|
Tidak/Not/Negasi
|
Tidak………….
|
Ù
|
Dan/And/Konjungsi
|
……..dan……..
|
Ú
|
Atau/Or/Disjungsi
|
………atau…….
|
Þ
|
Implikasi
|
Jika…….maka…….
|
Û
|
Bi-Implikasi
|
……..bila
dan hanya bila……..
|
Contoh 1.1 :
Misalkan
: p menyatakan kalimat “ Mawar adalah nama bunga”
Q menyatakan kalimat “ Apel adalah nama buah”
Maka
kalimat “ Mawar adalah nama bunga dan Apel adalah nama buah “
Dinyatakan
dengan simbol p Ù q
Contoh 1.2 :
Misalkan p: hari ini hari minggu
q: hari ini libur
nyatakan kalimat dibawah ini dengan simbol logika :
a.
Hari ini tidak hari minggu tetapi libur
b.
Hari ini tidak hari minggu dan tidak libur
c.
Tidak
benar bahwa hari ini hari minggu dan libur
Penyelesaian
a.
Kata “tetapi”
mempunyai arti yang sama dengan dan sehingga kalimat (a) bisa ditulis sebagai : ¬p
Ù q
b.
¬p Ù¬q
c.
¬(p Ù
q)
NEGASI
(INGKARAN)
Jika p adalah “
Semarang ibukota Jawa Tengah”, maka ingkaran atau negasi dari pernyataan p
tersebut adalah Øp yaitu “ Semarang
bukan ibukota Jawa Tengah” atau “Tidak benar bahwa Semarang ibukota Jawa
Tengah”. Jika p diatas bernilai benar (true), maka ingkaran p (Øp)
adalah bernilai salah (false) dan begitu juga sebaliknya.
KONJUNGSI
Konjungsi adalah
suatu pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung “DAN/AND” dengan notasi “Ù”
Contoh
1.3:
p: Fahmi makan nasi
Q:Fahmi minum kopi
Maka pÙq
: Fahmi makan nasi dan minum kopi
Pada konjungsi pÙq
akan bernilai benar jika baik p maupun q bernilai benar. Jika salah satunya
(atau keduanya) bernilai salah maka pÙq bernilai salah.
DISJUNGSI
Disjungsi adalah
pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung “ATAU/OR” dengan notasi “Ú”.
Kalimat disjungsi
dapat mempunyai 2 arti yaitu :
a. INKLUSIF
OR
Yaitu
jika “p benar atau q benar atau keduanya true”
Contoh :
p
: 7 adalah bilangan prima
q
: 7 adalah bilangan ganjil
p Ú q : 7 adalah bilangan prima atau ganjil
Benar bahwa 7 bisa dikatakan bilangan prima sekaligus
bilangan ganjil.
b. EKSLUSIF
OR
Yaitu
jika “p benar atau q benar tetapi tidak keduanya”.
Contoh
:
p : Saya akan melihat pertandingan bola di
TV.
q : Saya akan melihat pertandingan bola di
lapangan.
p Ú q : Saya akan
melihat pertandingan bola di TV atau lapangan.
Hanya
salah satu dari 2 kalimat penyusunnya yang boleh bernilai benar yaitu jika
“Saya akan melihat pertandingan sepak bola di TV saja atau di lapangan saja
tetapi tidak keduanya.
IMPLIKASI
Misalkan ada 2
pernyataan p dan q, untuk menunjukkan atau membuktikan bahwa jika p bernilai
benar akan menjadikan q bernilai benar juga, diletakkan kata “JIKA” sebelum
pernyataan pertama lalu diletakkan kata “MAKA” sebelum pernyataan kedua
sehingga didapatkan suatu pernyataan majemuk yang disebut dengan
“IMPLIKASI/PERNYATAAN BERSYARAT/KONDISIONAL/ HYPOTHETICAL dengan notasi “Þ”.
Notasi pÞq dapat dibaca :
- Jika p maka q
- q jika p
- p adalah syarat cukup untuk q
- q adalah syarat perlu untuk p
Contoh
1.4:
- p : Pak Ali adalah seorang haji.
q : Pak
Ali adalah seorang muslim.
p Þ q :
Jika Pak Ali adalah seorang haji maka pastilah dia seorang muslim.
- p : Hari hujan.
q : Adi
membawa payung.
Benar
atau salahkah pernyataan berikut?
- Hari benar-benar hujan dan
Adi benar-benar membawa payung.
- Hari benar-benar hujan
tetapi Adi tidak membawa payung.
- Hari tidak hujan tetapi Adi
membawa payung.
- Hari tidak hujan dan Adi tidak membawa payung.
BIIMPLIKASI
Biimplikasi atau
bikondosional adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataan p dan q yang
dinyatakan dengan notasi “p Û q” yang bernilai
sama dengan (p Þq) Ù (q Þ p) sehingga dapat dibaca “ p jika dan hanya jika
q” atau “p bila dan hanya bila q”. Biimplikasi 2 pernytaan hanya akan bernilai benar jika implikasi
kedua kalimat penyusunnya sama-sama bernilaii benar.
Contoh
1.5 :
p : Dua garis saling berpotongan adalah
tegak lurus.
q : Dua garis saling membentuk sudut 90
derajat.
p Û q : Dua
garis saling berpotongan adalah tegak lurus jika dan hanya jika dan hanya jika
dua garis saling membentuk sudut 90 derajat.
TABEL
KEBENARAN
p
|
q
|
Øp
|
Øq
|
pÚq
|
pÙq
|
pÞq
|
pÛq
|
p Å q
|
T
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
T
|
T
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
T
|
F
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
T
|
F
|
T
|
T
|
F
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
F
|
F
|
T
|
T
|
Untuk
menghindari perbedaan konotasi dan keganjilan arti dalam menerjemahkan
simbol-simbol logika maka dalam matematika tidak disyaratkan adanya hubungan
antara kedua kalimat penyusunnya. Kebenaran suatu kalimat berimplikasi
semata-mata hanya tegantung pada nilai kebenaran kaliamat penyusunnya. Karena
itu digunakan tabel kebenaran penghubung. Jika p dan q adalah kalimat-kalimat dimana
T=true/benar dan F=false/salah, maka untuk n variable (p,q,…) maka tabel
kebenaran memuat 2n baris.