INGKARAN KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI
Contoh 1.8:
Tentukan ingkaran
atau negasi konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi berikut.
“Jika suatu bendera
adalah bendera RI maka bendera tersebut berwarna merah dan putih”
Penyelesaian
Misal p : Suatu
bendera adalah bendera RI
q : Bendera tersebut berwarna merah dan
putih
maka kalimatnya
menjadi p Þ q atau jika menggunakan operator dan maka p Þ q
ekuivalen(sebanding/») dengan Øp Ú q.
Sehingga
1.
Negasi dari
implikasi
Implikasi : (pÞq) » Øp Ú q
Negasinya : Ø(ØpÚq) » pÙØq
Kalimatnya :“Suatu bendera adalah bendera RI dan
bendera tersebut tidak berwarna
merah dan putih”.
2.
Negasi dari konvers
Konvers : qÞp » ØqÚp
Negasinya : Ø(ØqÚp) » qÙØp
Kalimatnya : “Ada/Terdapat bendera berwarna merah
dan putih tetapi bendera tersebut bukan bendera RI”.
3.
Negasi dari invers
Invers : Øp Þ Øq » Ø(Øp)ÚØq) » pÙØq
Negasinya : Ø(pÙØq) » ØpÚq
Kalimatnya :
“Suatu bendera bukan bendera RI atau bendera tersebut berwarna merah dan
putih”.
4.
Negasi dari kontraposisi
Kontraposisi : Øq Þ Øp » Ø(Øq)ÚØp » qÚØp
Negasinya : Ø(qÚØp) » ØqÙp
Kalimatnya : “
Suatu bendera tidak berwarna merah dan putih dan bendera tersebut adalah
bendera RI”.
1.5 EKUIVALENSI LOGIKA
Pada tautologi, dan juga kontradiksi, dapat dipastikan bahwa jika dua buah
ekspresi logika adalah tautologi, maka kedua buah ekspresi logika tersebut
ekuivalen secara logis, demikian pula jika keduanya kontradiksi. Persoalannya
ada pada contingent, karena memiliki
semua nilai T dan F. Tetapi jika urutan T dan F atau sebaliknya pada tabel
kebenaran tetap pada urutan yang sama maka tetap disebut ekuivalen secara
logis. Perhatikan pernyataan berikut :
Contoh 1.9 :
1. Dewi sangat
cantik dan peramah.
2. Dewi peramah
dan sanagt cantik.
Kedua
pernyataan di atas, tanpa dipikir panjang, akan dikatakan ekuivalen atau sama
saja. Dalam bentuk ekspresi logika dapat ditulis sebagai berikut :
A = Dewi sangat
cantik.
B = Dewi
peramah.
Maka ekspresi
logikanya :
1. A Ù B
2. B Ù A
Jika dikatakan
kedua buah ekspresi logika tersebut ekuivalen secara logis maka dapat ditulis A
Ù B º B Ù A. Ekuivalensi logis dari kedua ekspresi logika tersebut dapat dibuktikan
dengan tabel kebenaran sebagai berikut ini :
A
|
B
|
AÙB
|
BÙA
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
F
|
F
|
F
|
F
|
T
|
F
|
F
|
F
|
F
|
F
|
F
|
Pembuktian
dengan tabel kebenaran diatas, walaupun setiap ekspresi logika memiliki nilai T
dan F, tetapi karena memiliki urutan yang sama, maka secara logis tetap
dikatakan ekuivalen. Tetapi jika urutan T dan F tidak sama, maka tidak biasa
dikatakan ekuivalen secara logis. Tabel kebenaran merupakan alat untuk
membuktikan kebenaran ekuivalensi secara logis. Kesimpulan diambil berdasarkan
hasil dari tabel kebenaran tersebut. Lihat pernyataan berikut ini :
Contoh 1.10 :
1. Badu tidak
pandai, atau dia tidak jujur.
2. Adalah tidak
benar jika Badu pandai dan jujur.
Secara intuitif
dapat ditebak bahwa kedua pernyataan di atas sebenarnya sama, tetapi bagaimana
jika idbuktikan dengan menggunkan tabel kebenaran berdasarkan ekspresi logika.
Adapaun langkah-langkahnya :
1. Ubah dahulu
argumen di atas ke dalam bentuk ekspresi/notasi logika.
Misal : A=Badu pandai
B=Badu jujur
Maka kalimatnya menjadi
1. ØAÚØB
2. Ø(AÙB)
2. Buat tabel
kebenarannya
A
|
B
|
ØA
|
ØB
|
AÙB
|
ØAÚØB
|
Ø(AÙB)
|
T
|
T
|
F
|
F
|
T
|
F
|
F
|
T
|
F
|
F
|
T
|
F
|
T
|
T
|
F
|
T
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
F
|
T
|
T
|
Perhatikan
ekspresi di atas! Meskipun kedua ekspresi
logika di atas memiliki nilai kebenaran yang sama, ada nilai T dan F, keduanya
baru dikatakan ekuivalen secara logis jika dihubungkan dengan perangkai
ekuivalensi dan akhirnya menghasilkan tautologi.
3. Tambahkan perangkai biimplikasi untuk menghasilkan
tautologi
ØAÚØB
|
Ø(AÙB)
|
ØAÚØB Û Ø(AÙB)
|
F
|
F
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
Jika hasilnya
adalah tautologi (bernilai T semua), maka dikatakan bahwa kedua argumen
tersebut ekuivalen secara logis.
1.5.1 HUKUM-HUKUM EKUIVALENSI LOGIKA
Identitas
|
pÙ1 º p
|
pÚ0 º p
|
Ikatan
|
pÚ1 º T
|
pÙ0 º 0
|
Idempoten
|
pÚp º p
|
pÙp º p
|
Negasi
|
pÚØp º 1
|
pÙØp º 0
|
Negasi Ganda
|
ØØp º p
|
|
Komutatif
|
pÚq º qÚp
|
pÙq º qÙp
|
Asosiatif
|
(pÚq)Úr º pÚ(qÚr)
|
(pÙq)Ùr º pÙ(qÙr)
|
Distributif
|
pÚ(qÙr) º (pÚq)Ù(pÚr)
|
pÙ(qÚr) º (pÙq)Ú(pÙr)
|
De Morgan’s
|
Ø(pÙq) º Øp Ú Øq
|
Ø(pÚq) º Øp Ù Øq
|
Aborbsi
|
pÙ(pÚq) º p
|
pÚ(pÙq) º p
|
Selain dengan
menggunkan tabel kebenaran, menentukan dua buah argumen adalah ekuivalen secara
logis dapat juga menggunakan hukum-hukum ekuivalensi logika. Cara ini lebih
singkat
Contoh
1.11 :
1.
Buktikan ekuivalensi kalimat di bawah ini dengan hukum-hukum ekuivalensi.
Ø(pÚØq) Ú (ØpÙØq) º Øp
Penyelesaian
Ø(pÚØq) Ú (ØpÙØq) º (ØpÙØ(Øq)) Ú (ØpÙØq)
º (ØpÙq) Ú (ØpÙØq)
º Øp Ù (qÚØq)
º Øp Ù T
º Øp Terbukti
Dalam
membuktikan ekuivalensi pºq ada 3 macam cara yang bisa dilakukan :
- P diturunkan terus menerus
(dengan menggunakan hukum-hukum ekuivalensi logika yang ada).
- Q diturunkan terus-menerus
(dengan menggunakan hukum-hukum ekuivalensi logika yang ada), sehingga
didapat P.
- P dan Q diturunkan secara
terpisah sehingga akhirnya didapat R
Sebagai aturan
kasar, biasanya bentuk yang lebih kompleks yang diturunkan ke dalam bentuk yang
sederhana. Jadi jika p kompleks amaka aturan (1) yang dilakukan. Sebaliknya
jika q yang lebih kompleks maka aturan (2) yang dilakukan. Aturan (3) digunakan
jika p dan q sama-sama kompleks.